Εργαστήριο Μαθηματικών: Άλγεβρα

Άλγεβρα Α και Β Λυκείου: Κατάλογος θεμάτων

Η μηχανή της συνάρτησης, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Πολύ συχνά, οπτικοποιούμε την έννοια της αντιστοιχίας της ανεξάρτητης μεταβλητής x στην εξηρτημένη y με μια μηχανή που στην είσοδό της παίρνει τα x και από την έξοδό της βγαίνουν τα y, συνήθως υπακούοντας σε έναν κανόνα - τύπο. Η παρούσα διδακτική πρόταση, χρησιμοποιεί την ίδια εικόνα, όμως ο "κανόνας" μπορεί να είναι μια αλγεβρική σχέση ή μια τυχαία επιλογή. Κατ' επέκταση, εμφανίζονται και άλλες "μηχανές" συνάρτησης αρκετά "περίεργες", όπως η αντιστοιχία της χρονικής στιγμής και της θερμοκρασίας ενός ασθενούς. Με αφορμή το πυρετικό διάγραμμα που παράγεται, γίνεται κουβέντα για το πότε αυξάνει η θερμοκρασία, ποιες ενδιάμεσες τιμές πήρε, ποια είναι η μέγιστη και ποιά η ελάχιστη θερμοκρασία του ασθενούς και πότε εμφανίστηκαν. Επιτυγχάνεται έτσι η "πρώτη επαφή" των μαθητών με όλες τις συναρτησιακές έννοιες που θα συναντήσουν μετέπειτα (γράφημα, διαστήματα μονοτονίας, ακρότατα). Το μάθημα αυτό εφαρμόστηκε στις 14/02/11.
Λογισμικό: GeoGebra 4.0, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems) / Λήψη αρχείων

Το παζλ των συναρτήσεων, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Μια ιδέα που διατυπώθηκε αρχικά στο άρθρο "Προσεγγίζοντας την έννοια της συνάρτησης στο Γυμνάσιο και το Λύκειο" προτείνει την εξής δραστηριότητα για τις κλαδωτές συναρτήσεις: Αποτυπώνονται σε χαρτόνια τα γραφήματα των απλών συναρτήσεων y=x, y=-x, y=x², y=-x² και κόβονται κατά μήκος του άξονα y'y. Έτσι, δημιουργούνται 8 καρτέλες, όπως εικονίζονται παρακάτω, που ο συδυασμός τους οδηγεί στην έννοια της κλαδωτής συνάρτησης. Το μάθημα αυτό εφαρμόστηκε το σχολικό έτος 2007-08. Το αρχείο που επισυνάπτεται στον τίτλο του μαθήματος (functions_puzzle.zip) περιέχει υλικό τόσο για εκτυπώσεις σε χαρτόνια, όσο και για προσαρμογή του μαθήματος με διαδραστικό πίνακα.

Άλγεβρα με τους Καταλανούς συμμαθητές μας, του Δημήτρη Καλυκάκη και της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Δύο πρωτότυπα μαθήματα στην γραμμική συνάρτηση που σχεδιάστηκαν με αφορμή την επίσκεψη Καταλανών μαθητών στο σχολείο μας, στα πλαίσια του προγράμματος Erasmus+, στις 11 Μαΐου 2015. Στο τμήμα Α₃ διερευνήθηκε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης της επιφάνειας (δαπέδου) μιας ορθογώνιας μάντρας, έχοντας διαθέσιμο ένα συγκεκριμένο ποσό για τα έξοδα κατασκευής. Στο τμήμα Α₁ οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες για να επαναλάβουν με βροχόμετρα, νερό και μπίλιες μια έξυπνη μέθοδο που μας διασώζει ο Αίσωπος στον μύθο του "ο κόρακας κι η στάμνα" για να ανέβει η στάθμη του νερού.

Γραμμικές συναρτήσεις: Πειραματική προσέγγιση, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Στο προαύλιο του σχολείου, την Τετάρτη 13 Μαΐου 2016, μαθητές από την Φινλανδία, την Ισπανία και την Ελλάδα (Τμήμα A3) διεξάγουν πειράματα με την στάθμη του νερού σε βροχόμετρο και την άνοδό της κατά την εισαγωγή βόλων. Οδηγούνται έτσι σε μια γραμμική συνάρτηση. Αλλάζοντας το βροχόμετρο σε σφαίρα ή ανεστραμμένο κώνο ή ανεστραμμένη πυραμίδα, η συνάρτηση παύει να είναι γραμμική.

Μελέτη Τριωνύμου, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Η βασική ιδέα είναι πως κάθε παραβολή είναι η μετατόπιση μιας στοιχειώδους παραβολής της μορφής y=αx². Οπότε, αρχικά μελετώνται οι μετατοπίσεις αυτών των παραβολών και έπειτα γίνεται η μελέτη των διαστημάτων μονοτονίας και του προσήμου ενός τριωνύμου. Παρέχεται ακόμα κουίζ και άσκηση αντιστοίχισης για εξάσκηση.
Λογισμικό: GeoGebra 4.0, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems)

Ένα τετράγωνο στην επιπεδοχώρα, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ]
Περιγραφή: Σε μία χώρα που όλα είναι επίπεδα, βρίσκεται ένα τετράγωνο στον πυθμένα ενός πηγαδιού, σκεπασμένο από νερό. Ξαφνικά αρχίζει να μεγαλώνει και το ερώτημα είναι εάν θα υψωθεί πάνω από τη στάθμη του νερού.
Οι μαθητές αρχικά εντοπίζουν τις παραμέτρους του προβλήματος και το "μαθηματικοποιούν", ενώ στη συνέχεια δημιουργούν μια δυναμική εικόνα του συμβάντος, ώστε να το διερευνήσουν.
Ισχύει το μη-προφανές, ότι, αναλόγως με την ποσότητα του νερού, το τετράγωνο είτε καταφέρνει να υψωθεί πάνω από τη στάθμη του, είτε όχι.
Οι εμπλεκόμενες έννοιες είναι της συνάρτησης, της μεταβλητής, της παραμέτρου, της κλαδωτής συνάρτησης.
Λογισμικό: Modellus 2.5, λογισμικό προσομοίωσης μοντέλων και καταστάσεων.

Οριζόντια - κατακόρυφη μετατόπιση, του Δημήτρη Καλυκάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Δίνεται στους μαθητές η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=|x| και την μεταφέρουν κατακόρυφα ή οριζόντια (γεωμετρικός μετασχηματισμός μεταφοράς). Στη συνέχεια οι μαθητές προσπαθούν να εντοπίσουν κάποιον κανόνα για το πώς η μεταφορά, μεταβάλει τον αλγεβρικό τύπο της συνάρτησης, αλλά και αντίστροφα, το πώς ο αλγεβρικός τύπος δίνει στοιχεία για την μεταφορά του αρχικού γραφήματος. Το μάθημα αυτό εφαρμόστηκε στις 22/03/2011.
Λογισμικό: GeoGebra 3.2, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems)

Μονοτονία - Ακρότατα, του Δημήτρη Καλυκάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Δίνεται το γράφημα μιας απλής κλαδωτής συνάρτησης (τεθλασμένη γραμμή) και οι μαθητές εντοπίζουν αρχικά τον αλγεβρικό της τύπο. Στη συνέχεια μελετούν και άλλα στοιχεία της όπως τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα. Η προσέγγιση γίνεται τόσο γεωμετρικά, όσο και αλγεβρικά. Το μάθημα αυτό εφαρμόστηκε στις 29/03/2011.
Λογισμικό: GeoGebra 3.2, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems)

Πρώτο πρόβλημα μεγίστου, του Δημήτρη Καλυκάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Δίνεται στους μαθητές το τριώνυμο f(x)=x²+αx+α και ζητείται να μεταβάλουν με "κουμπιά" την τιμή της παραμέτρου α, και να εντοπίσουν εκείνα που η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα x'x. Η διαπίστωση ότι αυτές οι τιμές συνιστούν διάστημα είναι σημαντική για να τεθεί το ερώτημα του "ελάχιστου α" με αυτήν την ιδιότητα. Προτρέπονται επίσης να δώσουν και αυστηρή μαθηματική απόδειξη, που να ενισχύει την διαίσθηση που προκαλείται με το λογισμικό. Η ρόλος της απόδειξης φαίνεται ιδιαίτερα σημαντικός σε δεύτερο πρόβλημα όπου το λογισμικό "αδυνατεί" να δώσει την πλήρη εικόνα της κατάστασης. (Το μάθημα αυτό εφαρμόστηκε στις 03/05/2011.)
Λογισμικό: GeoGebra 3.2, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems)

Δεύτερο πρόβλημα μεγίστου, του Δημήτρη Καλυκάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Τίθεται το εξής ερώτημα μεγιστοποίησης: "Από τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με σταθερή περίμετρο ίση με 8cm να βρεθεί εκείνο που έχει το μέγιστο εμβαδόν". Η διερεύνηση ξεκινά από το μη προφανές για τους μαθητές ότι υπάρχουν ορθογώνια με ίδια περίμετρο αλλά διαφορετικό εμβαδόν. Έπειτα, για την εύρεση του ορθογωνίου με το μέγιστο εμβαδόν, το πρόβλημα "ευθειοποιείται", δηλαδή από πρόβλημα στο επίπεδο, μετατρέπεται σε πρόβλημα σε ευθεία. Το πακέτο περιλαμβάνει επίσης το σενάριο του μαθήματος, όπου αναπτύσσονται οι φάσεις διερεύνησης αναλυτικά. Το μάθημα αυτό εφαρμόστηκε στις 05/05/2011.
Λογισμικό: GeoGebra 3.2, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems)

Διαίρεση πολυωνύμου με πρωτοβάθμιο πολυώνυμο της μορφής x-ρ, του Δημήτρη Καλυκάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Οδηγός μαθήματος για τον καθηγητή, που συντάχθηκε στα πλαίσια δειγματικής διδασκαλίας που έλαβε χώρα στο Εργαστήριο Μαθηματικών, στις 27/01/10.

Κυνηγώντας ακέραιες ρίζες, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Πρόκειται για μια διασκεδαστική πρόταση διδασκαλίας στο "Θεώρημα ακέραιων ριζών πολυωνύμου", όπου οι μαθητές χωρίζονται σε ομάδες και ξεκινούν ένα "κυνηγητό ακέραιων ριζών" που θυμίζει "κυνήγι θησαυρού", με ενδιαφέροντα έπαθλα. Στην πορεία θα πρέπει να ανταλλάξουν προβλήματα με άλλες ομάδες, να αναγνωρίσουν πολυώνυμα από τη γραφική τους παράσταση και πολλά άλλα. Τελικά, όλοι βγαίνουν κερδισμένοι! Το μάθημα αυτό εφαρμόστηκε στις 26/02/10 σε τμήμα 24 μαθητών και στις 02/03/10 σε τμήμα 22 μαθητών.

H έννοια της περιοδικής συνάρτησης, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Οι μαθητές εντοπίζουν αρχικά το περιοδικό φαινόμενο και έπειτα την περιοδική συνάρτηση σε δύο καθημερινές καταστάσεις: Την διαδρομή ενός φέρι μποτ από ένα λιμάνι Α σε ένα λιμάνι Β και την ταλάντωση του απλού εκκρεμούς. Το μάθημα πραγματοποιήθηκε στις 10/11/11.
Λογισμικό: GeoGebra 3.2, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems) / Λήψη αρχείων

Δείκτες ρολογιού, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ]
Περιγραφή: Το πρόβλημα που ζητείται να διερευνήσουν οι μαθητές είναι το πότε ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης συμπίπτουν, σε διάστημα ενός 24-ώρου. Η προσέγγιση του προβλήματος κατευθύνει τους μαθητές στη μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων και γενικότερα περιοδικών.
Λογισμικό Function Probe, που υπάγεται στην κατηγορία των CAS (Computer Algebra Systems).

Δυνάμεις με ρητό και άρρητο εκθέτη - Εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Σχέδιο μαθήματος και φύλλα εργασίας που αναπτύχθηκαν στα πλαίσια δειγματικής διδασκαλίας στο Πειραματικό Λύκειο Ηρακλείου στις 18/02/11 (πρώτο μέρος) και στις 22/02/11 (δεύτερο μέρος), με χρήση βιντεοπροβολέα. Στον ορισμό της εκθετικής συνάρτησης η εκπαιδευτικός επιλέγει όλο και μικρότερο βήμα στον δρομέα "εκθέτη" του αρχείου orismos_ekthetikis.ggb και επιτυγχάνεται έτσι η "πύκνωση" των σημείων στο γράφημα και από εκεί ο ορισμός της εκθετικής.
Λογισμικό: GeoGebra 3.2, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems)

Γλυκιά εκθετική απόσβεση, της Ειρήνης Περυσινάκη [Σ+Π]
Περιγραφή: Μια πειραματική διδασκαλία που βασίστηκε σε διδακτικό σενάριο της Πότας Κοταρίνου για την εκθετική απόσβεση και εφαρμόστηκε στα τμήματα Β2 και Β3 στις 04/04/16. Κατατίθενται φωτογραφικό υλικό, φύλλα εργασίας, εισαγωγική παρουσίαση Power Point και αρχεία λογισμικού GeoGebra.
Λογισμικό: GeoGebra 4.0, λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας και επεξεργασίας Αλγεβρικών Συστημάτων (CAS - Computer Algebra Systems)