© 2017 Εργαστήριο Μαθηματικών Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων Ηρακλείου
Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων
Γρανάζια: Πώς λειτουργεί ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων;
Τα μαθηματικά των γραναζιών
Είναι εντυπωσιακό να παρατηρείς την κίνηση να μεταφέρεται από το ένα γρανάζι στο άλλο. Μπορεί κανείς να φτιάξει ολόκληρες αλυσίδες (συρμούς) γραναζιών, κάτι τέτοιο για παράδειγμα:
ΔΥΟ ΓΡΑΝΑΖΙΑ
Όταν δύο γρανάζια που συνδέονται έχουν διαφορετικό πλήθος δοντιών, τότε κινούνται με διαφορετική γωνιακή ταχύτητα. Ειδικότερα, ο αριθμός των δοντιών και το πλήθος των περιστροφών είναι ποσά αντιστρόφως ανάλογα, δηλαδή έχουμε τη σχέση:
(δόντια Α γραναζιού) ✕ (περιστροφές Α γραναζιού)=(δόντια Β γραναζιού) ✕ (περιστροφές Β γραναζιού)
Στο εικονιζόμενο παράδειγμα το γρανάζι Α έχει 30 δόντια και εκτελεί μία περιστροφή ενώ το γρανάζι Β έχει 20 δόντια και εκτελεί 1,5 περιστροφή (δείτε ότι το γράμμα Β στο τέλος είναι ανεστραμμένο), συνεπώς ισχύει:
30 ✕ 1=20 ✕ 1,5
Από την προηγούμενη σχέση προκύπτει ότι ο λόγος περιστροφών των γραναζιών είναι ο αντίστροφος του λόγου δοντιών, δηλαδή:
ΣΥΡΜΟΙ ΓΡΑΝΑΖΙΩΝ
Σε έναν συρμό τριών ή περισσότερων γραναζιών, αν θέλουμε να βρούμε τον λόγο περιστροφών του τελευταίου γραναζιού προς τις περιστροφές του πρώτου γρανάζιου (οδηγός), πάλι ισχύει η ίδια σχέση (δηλαδή είναι ο αντίστροφος του λόγου των δοντιών τους), χωρίς να "μετράνε" τα ενδιάμεσα γρανάζια. Η εξήγηση είναι απλή, από την εφαρμογή του "νόμου των γραναζιών" στα διαδοχικά ζεύγη γραναζιών που συνθέτουν τον συρμό, δηλαδή:
ΣΥΝΘΕΤΟ ΓΡΑΝΑΖΙ
Αν στον ίδιο άξονα προσαρτήσουμε δύο γρανάζια με διαφορετικό πλήθος δοντιών, τότε δημιουργούμε ένα σύνθετο γρανάζι. Εφόσον τα δύο γρανάζια μοιράζονται τον ίδιο άξονα περιστροφής, θα έχουν και την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Συνεπώς, ένα σύνθετο γρανάζι σε έναν συρμό γραναζιών θα επηρεάζει τον λόγο περιστροφής του τελευταίου γραναζιού προς του πρώτου γραναζιού.
Στο εικονιζόμενο παράδειγμα βλέπουμε έναν συρμό με οδηγό το γρανάζι Α (36 δόντια) που συνδέεται με το γρανάζι B (21 δόντια). Το γρανάζι B (21 δόντια) και το γρανάζι C (36 δόντια) αποτελούν σύνθετο γρανάζι, άρα έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Τέλος, το γρανάζι C συνδέεται με το τελευταίο γρανάζι του συρμού, το D (16 δόντια). Οπότε ο λόγος των περιστροφών του τελευταίου γραναζιού D προς τις περιστροφές του αρχικού γραναζιού Α είναι:
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΜΑΓΙΚΗ ΚΑΡΤΑ
Εδώ είναι το υλικό που χρησιμοποιήσαμε για τα πειράματα με αληθινά γρανάζια:
- Φύλλο εργασίας
- Μαγική κάρτα
Οδηγίες: Τυπώστε σε ζελατίνη την πρώτη σελίδα με τις κατακόρυφες ρίγες και σε χαρτονάκι τη δεύτερη σελίδα με τα κυκλικά σχέδια. Έπειτα, περάστε επάνω από την χαρτονένια κάρτα την ζελατίνη, για να "ζωντανέψουν" τα γρανάζια. Μια μικρή επίδειξη του "μαγικού κόλπου" ακολουθεί παρακάτω:
Τα γρανάζια του Μηχανισμού των Αντικυθήρων
Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων, αν και κατασκευάστηκε περίπου 2000 χρόνια πριν, είναι αρκετά πολύπλοκος στην δομή του. Το διάγραμμα που κατασκεύασε ο Καθηγητής Διομήδης Σπινέλλης παρουσιάζει τα 30 γρανάζια που έχουν βρεθεί στον Μηχανισμό. Σε κάθε γρανάζι σημειώνεται το πλήθος των δοντιών του και η φορά περιστροφής. Με βέλος φαίνεται η μετάδοση της κίνησης από το ένα γρανάζι στο άλλο, ενώ τα σύνθετα γρανάζια (που κινούνται ως ένα σώμα) είναι συνδεδεμένα με απλή γραμμή.
|
Ας δούμε για παράδειγμα τι λένε τα "Μαθηματικά των γραναζιών" στον συρμό της Σελήνης (που είναι και το λογότυπο του ιστότοπου). Αποτελείται από τα γρανάζια: b2(64 δόντια) - c1(38 δόντια) - c2(48 δόντια) - d1(24 δόντια) - d2(127 δόντια) - e2(32 δόντια) Δεδομένου ότι έχουμε τα σύνθετα γρανάζια c1 - c2 και d1 - d2, θα ισχύει:
Χρειάζονται βέβαια λίγες αστρονομικές γνώσεις για να αποδώσουμε κάποιο νόημα σε αυτό τον λόγο περιστροφών: Σημαίνει ότι σε 19 χρόνια, θα έχουν συμπληρωθεί 254 αστρικοί μήνες (πλήρεις περιφορές της Σελήνης γύρω από την Γη που την επαναφέρουν στην ίδια θέση ως προς τα "ακίνητα" αστέρια του ουράνιου θόλου). Στην ενότητα για την Αστρονομία, θα εξηγήσουμε ότι οι Αρχαίοι είχαν τον λεγόμενο "Μετωνικό κύκλο" διάρκειας 19 χρόνων, ή ισοδύναμα 235 συνοδικών μηνών (συνοδικός μήνας θεωρείται το διάστημα που η Σελήνη ολοκληρώνει τις φάσεις της). Είναι δηλαδή μια περίοδος με ακέραιο πλήθος ετών και ακέραιο πλήθος μηνών. Ο αριθμός 254 είναι 235+19 και φυσικά, τόσοι θα είναι οι αστρικοί μήνες σε έναν Μετωνικό κύκλο, αφού στα 19 έτη η Σελήνη θα έχει πραγματοποιήσει και 19 περιφορές γύρω από τον Ήλιο (ο επιπλέον χρόνος που χρειάζεται για να ευθυγραμιστεί με τον Ήλιο, μετά την ολοκλήρωση της περιφοράς της γύρω από τη Γη). |
ΕΝΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΓΡΑΝΑΖΙ
Τα γρανάζια k1 και k2 που και τα δυο έχουν 50 δόντια, συνδέονται με ένα ιδιοφυές σύστημα πίρου και σχισμής. Το αποτέλεσμα είναι η μεταβαλόμενη γωνιακή ταχύτητα στο γρανάζι k2. Μια υπόθεση είναι ότι ο Μηχανισμός με αυτόν τον τρόπο αποδίδει την μεταβαλόμενη ταχύτητα περιφοράς της Σελήνης γύρω από την Γη, την οποία είχε εκφράσει ο Ίππαρχος με μια μαθηματική εξίσωση. Σήμερα γνωρίζουμε ότι η αλλαγή στην ταχύτητα ερμηνεύεται από τους νόμους του Kepler, καθώς η Σελήνη κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη, συνεπώς όταν βρίσκεται στο περίγειο (κοντά στη Γη) έχει μεγαλύτερη ταχύτητα, ενώ όταν βρίσκεται στο απόγειο (μακριά από τη Γη) η ταχύτητά της είναι μικρότερη. Φυσικά, οι Αρχαίοι δεν γνώριζαν για τις ελλειπτικές τροχιές, αλλά ερμήνευαν τις μεταβαλόμενες κινήσεις με τους επίκυκλους.
Πρόσφατα όμως (Christián C. Carman and Marcelo Di Cocco, 2016) διατυπώθηκε και μια δεύτερη ερμηνεία: Το σύστημα πιρός- σχισμής αποδίδει την ανωμαλία στις φάσεις της Σελήνης (κινούμενη εικόνα 1), που οι Αρχαίοι την απέδιδαν στον τρόπο περιφοράς του Ήλιου γύρω από το σταθερό σύστημα Γης-Σελήνης. Κατά τον αστρονόμο Φειδία (πατέρα του Αρχιμήδη) ο λόγος των αποστάσεων Γης-Σελήνης και Γης-Ηλίου (εικόνα 2) είναι 1:12 ενώ κατά τον Αρίσταρχο είναι 1:20. Στην πραγματικότητα είναι το πολύ μεγαλύτερο 1:390.
Ανεξάρτητα από την ερμηνεία της μεταβαλόμενης κίνησης, είναι πραγματικά αξιοθαύμαστο το σύστημα πιρός-σχισμής από τεχνολογική πλευρά και αποτελεί τον "πρόδρομο" των διαφορικών γραναζιών.
Εικόνα 1: Η ανωμαλία των φάσεων της Σελήνης
Εικόνα 2: Οι σχετικές θέσεις του ¨Ηλιου (S), της Γης (Ε) και της Σελήνης (M) και το σύστημα πιρός-σχισμής για την ερμηνεία της ανωμαλίας των φάσεων της Σελήνης
ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ MICHAEL WRIGHT
Ο μηχανολόγος Michael Wright, πρότεινε ότι θα υπήρχαν και άλλοι συρμοί στον Μηχανισμό των Αντικυθύρων που θα αναπαριστούσαν τις κινήσεις των πλανητών Ερμή, Αφροδίτης, Άρη, Δία και Κρόνου. Κάτι τέτοιο θα υπερδιπλασίαζε τον αριθμό των γραναζιών, όπως φαίνεται και στο ψηφιακό ομοίωμα του Mogi Vicentini.
Πηγές
- The Antikythera Mechanism: A Computer Science Perspective, του Διομήδη Σπινέλλη
- Ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων Βιβλίο GeoGebra του Δημήτρη Ζαχαριάδη
- The moon phase anomaly in the Antikythera Mechanism, Christián C. Carman and Marcelo Di Cocco, ISAW Papers 11 (2016)
- CNN - Notes on Constructing an Orrery / Antikythera Mechanism
- Gears and Pulleys, V. Ryan