Κατευθυνόμενη διδασκαλία

του Μανώλη Λαμπράκη

Στάδιο I

Ζητούμε να εκφράσουμε μια συνάρτηση ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής.

Ερώτημα 1^o

Γράψτε το ζητούμενο σε μορφή εξίσωσης

$\small \fn_jvn F(x)=F_{\alpha\rho\tau\iota\alpha}(x)+F_{\pi\epsilon\rho\iota\tau\tau\eta}(x)\Rightarrow\\ \\ F_{\alpha\rho\tau\iota\alpha}(x)+F_{\pi\epsilon\rho\iota\tau\tau\eta}(x)=F(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Ερώτημα 2^o

Θέσετε στην προηγούμενη σχέση στη θέση του x το–x και τροποποιήστε την ώστε στο πρώτο μέλος να εμφανίζονται οι F_αρτια(x) και F_{περιττη}(x).

$\small \fn_jvn F_{\alpha\rho\tau\iota\alpha}(x)-F_{\pi\epsilon\rho\iota\tau\tau\eta}(x)=F(-x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Ερώτημα 3^o

Προσδιορίστε τις συναρτήσεις F_αρτια(x) και F_{περιττη}(x).

Από τις (1), (2) προκύπτει:

$\fn_jvn F_{\alpha\rho\tau\iota\alpha}(x)=\frac{F(x)+F(-x)}{2}$

και

$\small \fn_jvn F_{\pi\epsilon\rho\iota\tau\tau\eta}(x)=\frac{F(x)-F(-x)}{2}$

Στάδιο IΙ

Ερώτημα 4^o

Δίνεται η συνάρτηση F(x) = x-1, x∈(-∞,-1]∪[1,∞). Βρείτε τις F_αρτια(x) και F_{περιττη}(x) έτσι ώστε F_αρτια(x)+ F_{περιττη}(x)=F(x). Σχεδιάστε πάνω στο ίδιο διάγραμμα τις τρείς εμπλεκόμενες συναρτήσεις.

Στάδιο IΙΙ

Με τη βοήθεια του διαδραστικού έχουμε ετοιμάσει σε html την εφαρμογή να δίνουμε μια συνάρτηση όπως για παράδειγμα αυτή στο στάδιο II και να παίρνουμε τις ζητούμενες γραφικές παραστάσεις.

Δείτε την εφαρμογή

Ενδιαφέρουσες συναρτήσεις που και τα παιδιά της Β’ Λυκείου θα γνωρίσουν αργότερα είναι οι $\small \inline \fn_jvn F(x)=\sqrt{x-1}$ και $\small \inline \fn_jvn F(x)=ln(x-1)$ .

Όπως όμως διαπιστώνουμε, η προσομοίωση δεν μας δίνει για τις συναρτήσεις αυτές άρτιο ή (και) περιττό κομμάτι. Ψάχνουμε με τα παιδιά την αιτία και έτσι καταλήγουμε στο να βρούμε τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες F(x)=F_αρτια(x)+ F_{περιττη}(x).

Με παρόμοιο τρόπο συνεχίζουμε και με το θέμα μεγίστου ελαχίστου. Εδώ μπορούμε να ζητήσουμε και «Γεωμετρική» λύση. Το μέγιστο προκύπτει αν στο μέσο όρο των a και b προσθέσουμε το απόλυτο της ημιδιαφοράς των. Για το ελάχιστο από το μέσο όρο των a και b αφαιρούμε το απόλυτο της ημιδιαφοράς των.

Επίσης με ανάλογο τρόπο θα μπορούσε να σχεδιαστεί ένα μάθημα σχετικό με το θέμα που έχει να κάνει με τη στροφή.