Το Β₃ το βρήκα αλλιώτικο, όταν μπήκα στην αίθουσά του, την 5η ώρα της Παρασκευής. Με ενημέρωσαν οι μαθητές, ότι με δική τους πρωτοβουλία, είχαν τοποθετήσει τα θρανία τους σε σχήμα "Π". Το γεγονός, δεν το άφησα ασχολίαστο: "Ωραία," τους είπα "το σχήμα Π βοηθά την μεταξύ σας επικοινωνία, όμως να φροντίσετε να είναι δημιουργική για τα μαθήματα και όχι για άλλα θέματα". Φυσικά, ανησυχούσα για την τροπή που θα μπορούσε να πάρει η μεταξύ τους επικοινωνία, δεδομένου ότι η Γεωμετρία που διδάσκω, θεωρείται στην Β' Λυκείου ένα "δευτερεύον μάθημα", παρά τις προσπάθειές μου να αποδείξω το αντίθετο.

Όσο γινόταν αυτή η κουβέντα, ο Αλέξης, σήκωνε σταθερά το χέρι του. Να ήθελε να λύσει κάποια άσκηση; Του έδωσα τον λόγο. Δεύτερη έκπληξη: Προχώρησε στον πίνακα, αντέγραψε από το τετράδιό του κάτι αριθμητικές στήλες και έθεσε το ερώτημα: "Κυρία, βρείτε το x!" Καλό κι αυτό! Εγώ νόμιζα ότι θα έλυνε άσκηση κι αυτός έθεσε ένα άσχετο για το μάθημα ερώτημα. Για λίγο έμεινα σκεφτική. Να του πω να αφήσουμε τα "παιχνίδα" ή να παρασυρθώ μαζί του σε ένα "αριθμητικό διάλειμμα"; Καταλητικό το βλέμμα των μαθητών: όλοι είχαν την διάθεση να βρουν αυτό το "x". Κι έτσι, παρασυρθήκαμε και δεν το μετάνοιωσα!

Παρατηρήστε τους αριθμούς στον ακόλουθο πίνακα και σκεφτείτε, πόσο πρέπει να είναι το x;

	1η στήλη	2η στήλη	3η στήλη	4η στήλη	5η στήλη
1η γραμμή	2	3	4	15	12
2η γραμμή	3	4	5	28	20
3η γραμμή	4	5	6	45	30
4η γραμμή	5	6	7	66	42
5η γραμμή	6	7	8	x	56

Τόσα δεδομένα, για να βρεθεί ένα μοναδικό x! Το πρώτο που παρατηρήσαμε ήταν ότι αν πολλαπλασιάσουμε τους αριθμούς στην 2η στήλη με τους αριθμούς στην 3η στήλη, θα πάρουμε τους αριθμούς στην 5η στήλη (3⋅4=12, 4⋅5=20, 5⋅6=30,...). Και μετά; Σιγά σιγά, άρχισαν να ξεδιπλώνονται και άλλες σχέσεις, που όλες οδηγούσαν στο ίδιο x.

Αυτό ήταν η 3η έκπληξη στο μάθημα: Ότι ο δρόμος καθορισμού του x δεν ήταν μονοσήμαντος. Το όλο θέμα άρχισε να μου αρέσει τρομερά. Οι μαθητές έψαχναν για εναλλακτικές προσεγγίσεις στην προσπάθειά τους να εξαντλήσουν όλες τις δυνατότητες. Μόλις εντόπιζαν κάτι καινούριο, σηκώνονταν στον πίνακα να το παρουσιάσουν. Αυτό ήταν! Έπρεπε οπωσδήποτε να καταγράψω το συμβάν! Έτσι, ζήτησα να μου γράψουν τις ιδέες τους σε ένα φύλλο χαρτί, το οποίο έπραξαν με προθυμία!

Τώρα που καταγράφω τις απαντήσεις τους, συνειδητοποιώ το μέγεθος της φαντασίας των παιδιών! Ιδού:

1ος τρόπος:

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί της 4ης στήλης προκύπτουν από τους αριθμούς της 5ης στήλης, αν σ' αυτούς προτεθεί το πολλαπλάσιο των αριθμών της 2ης στήλης, τάξης ίσης με την αρίθμηση της γραμμής. Δηλαδή:

15=12+1⋅3
28=20+2⋅4
45=30+3⋅5
66=42+4⋅6
x=56+5⋅7=91

2ος τρόπος:

Δημιουργούμε δύο νέες στήλες αριθμών (τις κόκκινες) ως εξής:

• Οι αριθμοί της 1ης κόκκινης στήλης σχηματίζονται από την διαφορά του γινομένου δύο διαδοχικών αριθμών της 1ης στήλης του αρχικού πίνακα, με τον επόμενο αριθμό. Έτσι, 2=2⋅3-4, 7=3⋅4-5, 14=4⋅5-6, 23=5⋅6-7, 34=6⋅7-8
• Οι αριθμοί της 2ης κόκκινης στήλης είναι οι αριθμοί της 1ης κόκκινης στήλης αυξημένοι κατά μία μονάδα.

2	3
7	8
14	15
23	24
34	35

Παρατηρούμε ότι ξαναπαίρνουμε τα στοιχεία της 2ης κόκκινης στήλης, ως διαφορές των στοιχείων της 5ης στήλης από την 4η. Δηλαδή, 3=15-12, 8=28-20, 15=45-30, 24=66-42.

Επομένως θα πρέπει και 35=x-56, δηλαδή x=35+56=91.

3ος τρόπος:

O αριθμός της 4ης στήλης είναι ο αριθμός της 1ης στήλης, επί τον αριθμό της 2ης στήλης, επί 2, συν τον αριθμό της 3ης στήλης, μείον 1. Δηλαδή:

15=2⋅3⋅2+4-1
28=3⋅4⋅2+5-1
45=4⋅5⋅2+6-1
66=5⋅6⋅2+7-1
x=6⋅7⋅2+8-1=91

4ος τρόπος:

Προσθέτουμε τους αριθμούς στην 2η και 3η στήλη, το άρθοισμα το πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμό στην 1η στήλη και στο αποτέλεσμα προσθέτουμε 1. Έτσι προκύπτει ο αριθμός της 4ης στήλης. Δηλαδή:

2⋅(3+4)+1=15
3⋅(4+5)+1=28
4⋅(5+6)+1=45
5⋅(6+7)+1=66
6⋅(7+8)+1=91=x

5ος τρόπος:

Παίρνουμε τους λόγους των αριθμών της 5ης στήλης με την 3η. Παρατηρούμε ότι κάθε τέτοιος λόγος διαφέρει από τον επόμενό του κατά δύο μονάδες, άρα, ο τελευταίος λόγος πρέπει να είναι το 13:

15/3=5
28/4=7
45/5=9
66/6=11
x/7=13

Συνεπώς, x=7⋅13=91

6ος τρόπος:

Οι αριθμοί της 4ης στήλης, είναι το άθροισμα των αριθμών της 1ης και της 5ης στήλης και της ακόλουθης στήλης:

1

5

11

19

29

Παρατηρήστε ότι τα στοιχεία αυτής της στήλης αυξάνουν κατά διαδοχικούς άρτιους αριθμούς: 4, 6, 8, 10

Οπότε έχουμε:

15=2+12+1
28=3+20+5
45=4+30+11
66=5+42+19
x=6+56+29=91

Υπάρχει ένα πολύ ενδιαφέρον άρθρο των Suzanne R. Harper και Michael Todd Edward, "A New Recipe: No More Cookbook Lessons" που αναφέρεται στο πώς ένας συγκεκριμένος πίνακας διαβαθμισμένων κριτηρίων που επινόησαν οι συγγραφείς, μπορεί να βοηθήσει στην αξιολόγηση μιας διδασκαλίας για το πόσο καθοδηγητική είναι, και στη μετατροπή της από μια "πλήρη συνταγή" σε μια "πλήρη διερεύνηση":

	Πλήρης διερεύνηση (ο μαθητής στο κέντρο)	Ελεγχόμενη διερεύνηση (ο μαθητής και ο δάσκαλος στο κέντρο)	Πλήρης συνταγή (ο δάσκαλος στο κέντρο)
Εργασία	Τα προβλήματα και οι ερωτήσεις θέτονται από μαθητές. Το περιεχόμενο των δραστηριοτήτων έχει νόημα για τους μαθητές. Οι εργασίες είναι πλούσιες, υποστηρίζοντας στρατηγικές πολλαπλών λύσεων για γνήσιο προβληματισμό.	Τα προβλήματα και οι ερωτήσεις θέτονται από τον δάσκαλο (ή τα μέσα). Το περιεχόμενο των δραστηριοτήτων έχει νόημα για τους μαθητές. Οι εργασίες είναι πλούσιες, υποστηρίζοντας στρατηγικές πολλαπλών λύσεων για γνήσιο προβληματισμό.	Τα προβλήματα και οι ερωτήσεις θέτονται από τον δάσκαλο (ή τα μέσα). Το περιεχόμενο των δραστηριοτήτων στερείται νοήματος για τους μαθητές και/ή οι εργασίες δεν είναι ικανοποιητικά πλούσιες, ώστε να υποστηριχθούν στρατηγικές πολλαπλών λύσεων και γνήσιος προβληματισμός.
Ανάλυση	Οι τεχνικές για την ανάλυση προβλημάτων αναπτύσσονται/ ξεκινούν από τους μαθητές.	Οι τεχνικές για την ανάλυση προβλημάτων αναπτύσσονται/ ξεκινούν από τον δάσκαλο ή τους μαθητές, με σημαντική καθοδήγηση του δασκάλου.	Οι τεχνικές για την ανάλυση προβλημάτων αναπτύσσονται/ ξεκινούν από τον δάσκαλο (ή τα υλικά).
Αναθεώρηση	Παρέχονται ευκαιρίες για κριτική αναθεώρηση/αξιολόγηση των ερωτήσεων και των λύσεών τους.	Παρέχονται ευκαιρίες για κριτική αναθεώρηση/αξιολόγηση των λύσεων των μαθηματικών ερωτήσεων.	Οι ευκαιρίες για αναθεώρηση είναι περιορισμένες ή απουσιάζουν.
Παρουσίαση	Οι μαθητές παρουσιάζουν τα ευρήματά τους ενώπιον ακροατηρίου και του δασκάλου (π.χ. συμμαθητές, άλλες τάξεις). Τα ευρήματα εκτίθενται με ποικίλους τρόπους (π.χ. παρουσιάσεις, αφίσες, βίντεο).	Οι μαθητές παρουσιάζουν τις λύσεις με τρόπο που καθορίζεται από τα υλικά, ενώπιον ακροατηρίου και του δασκάλου (π.χ. συμμαθητές, άλλες τάξεις).	Οι μαθητές παρουσιάζουν τις λύσεις στον δάσκαλο, με τρόπο που καθορίζεται από τα υλικά.

Με έκπληξη διαπιστώνω την πολύ καλή βαθμολογία που παίρνει το "αριθμητικό διάλειμμα":

• Εργασία: Πλήρης διερεύνηση, γιατί τα ερωτήματα προέκυψαν από τους μαθητές και η δραστηριότητα προσφερόταν για εναλλακτικές προσεγγίσεις.
• Ανάλυση: Πλήρης διερεύνηση, καθώς οι μαθητές επινόησαν δικές τους τεχνικές. (Βέβαια, βασισμένες στις 4 πράξεις της Αριθμητικής)
• Αναθεώρηση: Πλήρης συνταγή. Θα έλεγα οι ευκαιρίες για αναθεώρηση δεν δόθηκαν. Θα έπρεπε να αναλογιστούμε αν όλες οι απαντήσεις που βρήκαμε είναι όντως διαφορετικές. Το αφήνουμε στην κρίση του αναγνώστη.
• Παρουσίαση: Πλήρης διερεύνηση, μια και οι μαθητές, εκτός από την παρουσίασή τους στον πίνακα, ήταν πρόθυμοι και για την έκθεση των λύσεών τους στο διαδίκτυο.

Και αναρωτιέμαι: Γιατί το καθημερινό μάθημα να μην έχει την ίδια αποδοχή από τους μαθητές μου; Πολύ θα ήθελα να άλλαζα τα πράγματα... Ίσως να πρέπει να μιμηθώ τον Αλέξη: Να παρασύρω τους μαθητές μου σε ένα πρόβλημα, μια αναζήτηση, αφήνοντας πίσω τα κατεβατά των ασκήσεων.

Ειρήνη Περυσινάκη, Μαθηματικός