Ένα όμορφο θέμα στη Γεωμετρία της Β' Λυκείου είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα και οι πολλές αποδείξεις του (περισσότερες από 370).

Η απόδειξη που παρουσιάζεται στο σχολικό βιβλίο χρησιμοποιεί την ομοιότητα τριγώνων και όχι την έννοια του εμβαδού. Έτσι, γράφοντας α² για το "τετράγωνο της πλευράς α", εννοούμε απλώς τον αλγεβρικό αριθμό (μέτρο του α)✕(μέτρο του α) και όχι το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α.

Όμως, η έννοια του εμβαδού βρίσκεται στο κέντρο της απόδειξης τόσο του Πυθαγόρα όσο και του Ευκλείδη. Κρίνοντας πως η αναφορά στις δύο αυτές κλασσικές αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος συμβάλουν στη διαμόρφωση μιας πιο ολοκληρωμένης εικόνας για το Θεώρημα και τη σπουδαιότητά του, αποφασίσαμε να αφιερώσουμε ένα μάθημα αποκλειστικά σ' αυτές. Συμπληρωματικά, εξετάσαμε ένα γεωμετρικό επιχείρημα για την παραγωγή Πυθαγόρειων Τριάδων.

Οι μαθητές ανταποκρίθηκαν με πολύ θετικό τρόπο και στα τρία τμήματα που εφαρμόστηκε το συγκεκριμένο σχέδιο μαθήματος (στο Β1 στις 04-11-11 και στα Β2 και Β3 στις 09-11-11). Παρουσιάζουμε τους διαλόγους στο Β2, σε ελεύθερη μορφή.

Σημεία ανάπτυξης:

• Η απόδειξη του Πυθαγόρα
• Η απόδειξη του Ευκλείδη
• Μια παραλλαγή της απόδειξης του Ευκλείδη
• Πυθαγόρειες τριάδες
• Και άλλες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
• Πηγές

---

Κατεβάστε το αρχείο ggb από εδώ.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Η απόδειξη του Πυθαγόρα βασίστηκε σε ένα επιχείρημα τύπου puzzle. Τα τριγωνάκια που εμφανίζονται στο σχήμα είναι όλα αντίγραφα του ίδιου ορθογωνίου τριγώνου. Αν αλλάξουμε το ορθογώνιο τρίγωνο αριστερά, αλλάζουν και αυτά. Αλλάζουν όμως και τα τετράγωνα. Μπορείτε να μου περιγράψετε το κάθε τετράγωνο τι αντιπροσωπεύει;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Το κόκκινο είναι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενώ το μπλε και το πράσινο είναι τα τετράγωνα των κάθετων πλευρών.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Πολύ σωστά! Και τι αντιπροσωπεύει το λευκό τετράγωνο;

ΜΑΘΗΤΗΣ: ......

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Η ιδέα του Πυθαγόρα ήταν να χρησιμοποιήσει τα "χρωματιστά" τρίγωνα και τετράγωνα για να καλύψει αυτό το άσπρο τετράγωνο, όμοια με ένα παιχνίδι puzzle. Ας δούμε πώς γίνεται:

Η καθηγήτρια μεταφέρει τα τετράγωνα των κάθετων πλευρών στο εσωτερικό του άσπρου τετραγώνου

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Πώς θα συνεχίσουμε;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Μπορούμε να συμπληρώσουμε τα κενά με τα τέσσερα τετράγωνα.

ΜΑΘΗΤΗΣ: Όμως, έτσι δεν χωράει και το τετράγωνο της υποτείνουσας μέσα.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Πραγματικά, δεν έμεινε χώρος για το τετράγωνο της υποτείνουσας. Μπορούμε όμως να δούμε ότι το λευκό τετράγωνο έχει πλευρά το άθροισμα των κάθετων πλευρών, μια ερώτηση που είχαμε αφήσει αναπάντητη πριν.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Για δείτε τώρα έναν δεύτερο τρόπο να γεμίσουμε το λευκό τετράγωνο, χρησιμοποιώντας μονάχα το τετράγωνο της υποτείνουσας και τα τέσσερα τρίγωνα.

Η καθηγήτρια επιλέγει το δεύτερο κουτάκι επιλογής στο λογισμικό, και έπειτα, εναλλάσσοντας τις δύο εικόνες πλακοστρώσεων του λευκού τετραγώνου θέτει το ερώτημα:

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Μπορούμε να καταλήξουμε σε κάποια σχέση μεταξύ των τετραγώνων, από τις δύο πλακοστρώσεις που βλέπουμε;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Κι αν θέλουμε να είμαστε ακριβείς, οι πλακοστρώσεις δείχνουν την εξίσωση:

τετράγωνο υποτείνουσας + 4 ορθογώνια τρίγωνα = άθροισμα τετραγώνων κάθετων πλευρών + 4 ορθογώνια τρίγωνα

οπότε καταλήγουμε στο ότι

τετράγωνο υποτείνουσας = άθροισμα τετραγώνων κάθετων πλευρών

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης
Επιστροφή στην αρχή

---

Κατεβάστε το αρχείο ggb από εδώ.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε μια άλλη ιδέα με τα εμβαδά. Ότι όταν ένα τρίγωνο διατηρεί την βάση και το ύψος του, τότε διατηρεί και το εμβαδόν του, παρόλο που μπορεί να αλλάζει το σχήμα του. Για παράδειγμα, αν μια κορυφή του "κινείται" παράλληλα στην βάση του (απέναντι πλευρά), τότε διατηρεί βάση και ύψος, άρα και εμβαδόν, όμως η μορφή του αλλάζει.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ο Ευκλείδης ασχολείται με τα μισά τετράγωνα. Δείχει πως το άθροισμα των μισών τετραγώνων των κάθετων πλευρών είναι ίσο με το μισό τετράγωνο της υποτείνουσα.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Παρατηρήστε το σχήμα: Αρχικά το τρίγωνο της μιας κάθετης πλευράς (μισό τετράγωνο) μετασχηματίζεται σε ισεμβαδικό αμβλυγώνιο τρίγωνο, έπειτα αυτό περιστρέφεται κατά 90^ο και τέλος, μετασχηματίζεται ξανά σε ορθρογώνιο τρίγωνο στο εσωτερικό του τετραγώνου της υποτείνουσας. Το ίδιο και με το άλλο τρίγωνο της κάθετης πλευράς.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Το βλέπετε τώρα ότι, εφόσον το καθένα είναι το μισό του ενός ορθογωνίου, και τα δυο μαζί θα είναι το μισό του τετραγώνου της υποτείνουσας;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Κυρία, πώς μπόρεσε ο Ευκλείδης να διατυπώσει την απόδειξή του χωρίς να έχει τεχνολογία και λογισμικό;

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Πραγματικά, με το λογισμικό έγινε πολύ άμεση και κατανοητή η απόδειξη και λογικό είναι να σκεφτόμαστε ότι χωρίς το λογισμικό θα πρέπει να είναι μια πολύ δύσκολη απόδειξη, όπως και είναι. Το σχήμα που διασώζεται σε αντίγραφα των Στοιχείων του Ευκλείδη είναι μάλλον πολύπλοκο.

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης
Επιστροφή στην αρχή

---

Κατεβάστε το αρχείο ggb από εδώ.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Δείτε και αυτήν την απόδειξη, που χρησιμοποιεί και πάλι την ιδέα του Ευκλείδη με τους μετασχηματισμούς των τετραγώνων σε ισεμβαδικά: Πρώτα, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς μετασχηματίζεται σε ισεμβαδικό παραλληλόγραμμο (ισεμβαδικό γιατί διατηρεί βάση και ύψος). Έπειτα, το πλάγιο γίνεται και πάλι ορθρογώνιο, καθώς μετατοπίζεται παράλληλα η μια πλευρά του ως προς την απέναντί της και τέλος, αυτό το ορθογώνιο μεταφέρεται στο εσωτερικό του τετραγώνου. Αυτό συμβαίνει και για το τετράγωνο της άλλης κάθετης πλευράς.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Προσέξτε ότι η κατασκευή παρέχει την εξής επιπλέον πληροφορία: Ότι ο φορέας του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, διαιρεί το τετράγωνο της υποτείνουσας σε ορθογώνια που τα εμβαδά τους είναι ίσα με τα εμβαδά των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Το οποίο μπορεί να αναδιατυπωθεί στο γνωστό "ο λόγος των τετραγώνων των κάθετων πλευρών είναι ίσος με τον λόγο των προβολών τους στην υποτείνουσα".

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης
Επιστροφή στην αρχή

---

Κατεβάστε το αρχείο ggb από εδώ.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Οι Αρχαίοι Έλληνες παρατήρησαν ότι κάποιοι αριθμοί μπορούσαν να παρασταθούν με γεωμετρικά κανονικά σχήματα. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 4, 9, 16, 25,... μπορούν να πάρουν την μορφή τετραγώνου πλευράς 2, 3, 4, 5,... αντίστοιχα. Γι' αυτό και λέμε ότι "το 4 είναι το τετράγωνο του 2", "το 9 είναι το τετράγωνο του 3" κ.ο.κ.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ας δούμε αυτήν την εφαρμογή: Υπάρχει ένας δρομέας (μεταβλητός αριθμός) n που παίρνει τιμές 1, 2, 3,... Σέρνοντάς τον εμφανίζοναι κάποιοι αριθμοί σχηματικά. Ας μετρήσουμε συνολικά όλες τις κουκκίδες που εμφανίζονται και ξεχωριστά τις πράσινες και τις πορτοκαλί.

Η καθηγήτρια συμπληρώνει με την βοήθεια των μαθητών τον πίνακα:

n	Πράσινες κουκκίδες	Πορτοκαλί κουκκίδες	Συνολικός αριθμός κουκκίδων
1	0	1	1
2	1	3	4
3	4	5	9
4	9	7	16
5	16	9	25
...	...	...	...

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Μπορούμε να βγάλουμε κάποιον κανόνα για το πώς μεταβάλλεται το πλήθος των κουκκίδων σε κάθε κατηγορία;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Οι πορτοκαλί κουκκίδες αυξάνουν ανά δύο.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Πολύ σωστά. Είναι οι αριθμοί 1, 3, 5, 7,... δηλαδή όλοι οι περιττοί αριθμοί. Για τις άλλες κουκκίδες;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Είναι τετράγωνα. Και συγκεκριμένα, πράσινες κουκκίδες = (n-1)² και όλες οι κουκκίδες = n²

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Θα μπορούσαμε να έχουμε έναν τύπο για τις πορτοκαλί κουκκίδες σε σχέση με το n;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Οι πορτοκαλί κουκκίδες δίνονται από τον τύπο n² - (n-1)²

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Πολύ σωστά! Κι αν κάνουμε μερικές πράξεις παίρνουμε
n² - (n-1)² = n² - (n² - 2n + 1) = 2n-1
δηλαδή, όλοι οι περιττοί αριθμοί.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ας σκεφτούμε τώρα το ερώτημα που θέτει η εφαρμογή: Μπορούμε να πετύχουμε πυθαγόρειες τριάδες, αξιοποιώντας κάπως τον πίνακά μας; Ξέρουμε ποιες είναι οι πυθαγόρειες τριάδες;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Είναι αριθμοί που είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου, όπως το 3-4-5.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Σωστά, είναι φυσικοί αριθμοί που είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. Ας δούμε λοιπόν τον πίνακά μας λίγο προσεκτικά. Στην 5η γραμμή βλέπουμε τους αριθμούς 16-9-25, που είναι οι αριθμοί 4²-3²-5². Θα μπορούσαμε να βρούμε και άλλες τέτοιες τριάδες αριθμών; Να είναι δηλαδή και οι τρεις τετράγωνα;

ΜΑΘΗΤΗΣ:....

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ας σκεφτούμε πιο προσεκτικά: Η 2η και η 4η στήλη έχει πάντα αριθμούς-τετράγωνα. Το πρόβλημα λοιπόν είναι να βρούμε και στην τρίτη στήλη (πλήθος πορτοκαλί κουκκίδων) τετράγωνα. Αλλά αυτή η στήλη διατρέχει όλους τους περιττούς. Άρα, θα πρέπει να ψάξω για περιττούς που να είναι και τετράγωνο. Ξέρετε κάποιους;

ΜΑΘΗΤΗΣ: (δυστακτικά) Το 11;

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: To 11 είναι περιττός, αλλά είναι τετράγωνο;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Όχι...

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Για να δούμε προσεκτικά την 3η στήλη. Έχει τους αριθμούς 1, 3, 5, 7, 9,... Από αυτούς, μόνο το 9 είναι και τετράγωνο. Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός-τετράγωνο; Σίγουρα όχι το 11, ούτε το 13,...

ΜΑΘΗΤΗΣ: To 16!

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Το 16 είναι τετράγωνο, αλλά δεν είναι περιττός. Θυμηθείτε πως θέλουμε και τα δύο: να είναι και τετράγωνο και περιττός. Το 9 είναι και τα δύο. Μετά το 9, υπάρχουν άλλοι αριθμοί που να είναι και τα δύο;

ΜΑΘΗΤΗΣ: To 25!

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Πολύ σωστά! Το 25 είναι και τετράγωνο και περιττός. Κάποια στιγμή θα εμφανιστεί στη λίστα μαζί με άλλά δύο τετράγωνα στην ίδια γραμμή. Ποια θα είναι αυτά;

ΜΑΘΗΤΗΣ:...

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Ας καταλάβουμε σχηματικά τι γίνεται. Το 25 θα σχηματίζεται με τις πορτοκαλί κουκκίδες, δηλαδή θα έχει σχήμα "Γ", καλύπτοντας τις δύο πλευρές ενός τετραγώνου. Αν αφαιρέσουμε την μία και μοναδική κορυφή του "Γ" θα έχουμε στα δύο σκέλη του 12 και 12 κουκκίδες. Βλέπουμε τώρα ποιοι είναι οι άλλοι δύο τετράγωνοι αριθμοί που αναζητάμε;

Η καθηγήτρια βοηθητικά σχεδιάζει το ακόλουθο σχήμα:

ΜΑΘΗΤΗΣ: Οι άλλοι δυο αριθμοί είναι το 12² και το 13².

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Πολύ σωστά, και το επαληθεύουμε και αλγεβρικά ότι 25=13²-12², ή αλλιώς ότι 5²=13²-12²

ΜΑΘΗΤΗΣ: Δηλαδή, το 25 το μοιράσαμε περίπου στη μέση.

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Καλή παρατήρηση! Άρα, πώς θα βρούμε την επόμενη πυθαγόρεια τριάδα;

ΜΑΘΗΤΗΣ: Ο επόμενος αριθμός είναι το 49 και θα είναι 49=25²-24²

ΜΑΘΗΤΗΣ: Και ο επόμενος αριθμός είναι το 81 και θα είναι 81=41²-40²

ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: Είμαι πολύ ευχαριστημένη! Νομίζω ότι το καταλάβαμε!

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης
Επιστροφή στην αρχή

---

Ένα άλλο θέμα που θίγεται στις "μετρικές σχέσεις" στη Β' Λυκείου είναι το Θεώρημα των τεμνουσών κύκλου, ένα σχετικά στοιχειώδες θεώρημα, μια και η απόδειξή του χρησιμοποιεί μονάχα τις ιδιότητες της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο και τα κριτήρια ομοιότητα τριγώνων. Ως εκ τούτου, είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι αυτό το Θεώρημα συνεπάγεται το Πυθαγόρειο, κάτι που προτείνουμε να γνωρίσουν οι μαθητές της Β' Λυκείου. Παρακάτω, σκιαγραφούνται δύο προσεγγίσεις της συνεπαγωγής αυτής.

Πρώτη προσέγγιση: Έστω ΑΒΓ, ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την γωνία ∠Α ορθή. Αν ο κύκλος (Β, ΓΒ) τέμνει την ΑΒ στα σημεία Δ και Ε και την προέκταση της ΓΑ στο Ζ (όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα), τότε από το θεώρημα των τεμνουσών ισχύει: ΑΓ⋅ΑΖ = ΑΔ⋅ΑΕ ⇔ ΑΓ⋅ΑΖ= (ΔΒ-ΑΒ)(ΑΒ + ΒΕ) ⇔ β2 = (α-γ)(α + γ) ⇔ β2 = α2 - γ2

Δεύτερη προσέγγιση: Ας θεωρήσουμε ένα τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με την γωνία ∠Α ορθή. Αν ο κύκλος (Β, ΑΒ) τέμνει την ΓΒ στα σημεία Δ και Ε (όπως στο διπλανό σχήμα), τότε ισχύει: Τα τρίγωνα ΓΑΕ και ΓΔΑ είναι όμοια, εφόσον έχουν κοινή την γωνία ∠Γ και ∠ΓΕΑ = ∠ΓΑΔ (εγγεγραμμένη γωνία και γωνία χορδής και εφαπτομένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Συνεπώς, ΓΑ/ΓΔ = ΓΕ/ΓΑ ⇔ ΓΑ2 = ΓΔ⋅ΓΕ ⇔ ΓΑ2 = (ΓΒ-ΔΒ)(ΓΒ + ΒΕ) ⇔ β2 = (α-γ)(α + γ) ⇔ β2 = α2 - γ2

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης
Επιστροφή στην αρχή

---

1. Paulus Gerdes, How many proofs of the Pythagorean Theorem do there exist?
2. University of Surrey, Pythagorean Triangles and Triples
3. Πόπη Αρδαβάνη, Πυθαγόρειο Θεώρημα
4. Θανάσης Φουναριωτάκης, Πυθαγόρειο Θεώρημα