Αυτό το Πάσχα, η φίλη και συνάδελφος Μαθηματικός Σούλα Σούφαρη με ξάφνιασε ευχάριστα με την ευχητήρια κάρτα της (κάντε "κλικ" επάνω της). Αισθητικά πανέμορφη και μαθηματικά προκλητική: με ένα "κλικ" εμφανίζεται ένα απίστευτο μωσαϊκό σχήματος αυγού. Τι ακριβώς είναι;

Αρχικά θυμήθηκα ένα ξύλινο παζλ με το όνομα "Το αυγό του Κολόμβου", που είχα λάβει με το περιοδικό "Παιχνίδια Ευφυΐας", τεύχος 28 (2006), της DeAgostini. Το παιχνίδι ήταν τύπου tangram, όπου έπρεπε να αναδιατάξουμε τα 9 κομμάτια του για να σχηματίσουμε ορισμένες φιγούρες. Δείτε το, το εντόπισα και στο Puzzle Playground. Δεν υπάρχει μεγάλη αναλογία ανάμεσα στα δυο αυγά;.

Όμως, ομολογώ, δεν είχα ασχοληθεί πολύ τότε με τη γεωμετρία των κομματιών. Απλώς έπαιξα λιγάκι με το παζλ.

Και έρχεται τώρα η Σούλα με το αυγό της, που δεν ονομάζεται "αυγό του Κολόμβου", αλλά "αυγό του Ευκλείδη". Αυτό, είναι το πιο περίεργο από όλα: το όνομα. Τι σχέση είχε ο Ευκλείδης με τα αυγά; Είναι τόσο περίεργο το σχήμα τους, που αποκλείεται να είχε ασχοληθεί με αυτά στα Στοιχεία του. Ή μήπως κάνω λάθος;

Χωρίς αμφιβολία, το σχήμα του αυγού προκαλεί... Ποια καμπύλη το περιγράφει; Σίγουρα όχι η έλλειψη, μια και το αυγό δεν είναι κεντρικά συμμετρικό. Θυμάμαι πως το Πάσχα του 2010, ο συνάδελφος Κώστας Γαβρίλης ευχόταν τα "Χρόνια Πολλά" στην ομάδα των επιμορφωτών, παραπέμποντας κι αυτός σε αυγά, στον ιστότοπο EggMath. Εκεί γίνεται αναφορά σε δυο οικογένειες καμπυλών που θα μπορούσε κάποιος να τις χαρακτηρίσει ωοειδείς: Τα καρτεσιανά οβάλ και τα οβάλ του Cassini (δίδυμα αυγά). Σε απάντηση, κάποιος άλλος επιμορφωτής σχολίασε ότι η αντιστροφή μιας έλλειψης ως προς κύκλο οδηγεί και αυτή σε ωοειδή καμπύλη. Αυτό με ενέπνευσε να δημιουργήσω την ακόλουθη κάρτα ("κλικ" επάνω της):

Λήψη του αρχείου

Τα παραπάνω συνηγορούν στο ότι το σχήμα του αυγού δεν είναι καθόλου-μα καθόλου απλό! Όμως η Σούλα με την κάρτα της με έκανε για άλλη μια φορά να αναθεωρήσω όσα πιστεύω. Γιατί η ομορφιά του αυγού της, είναι η απλότητά του: Το περίγραμμά του είναι ένα σύνολο κυκλικών τόξων, αρμονικά συνδεδεμένών, ώστε να δημιουργούν μια απόλυτα λεία καμπύλη. Άρα αυτό το αυγό μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, συνεπώς σωστά ονομάζεται "Ευκλείδειο". Οι λεπτομερείς οδηγίες για την κατασκευή του βρίσκονται στο άρθρο που παραπέμπει η κάρτα της, Euclidean Eggs του Freyja Hreinsdotirr. Να σημειώσω μόνο ότι αποτελεί ένα ωραίο πρόβλημα Ευκλείδειας Γεωμετρίας το πώς πρέπει να ενώσουμε δύο κυκλικά τόξα άνισων κύκλων, ώστε η καμπύλη που προκύπτει να είναι λεία.

Κλείνω με την επίσης ωραία κάρτα του συναδέλφου Μάριου Κιοστεράκη για το φετινό Πάσχα. Η γεωμετρική κατασκευή του ευκλείδειου αυγού σε όλο της το μεγαλείο:

Ειρήνη Περυσινάκη,
Πάσχα 2012

Καλή Ανάσταση, της Σούλας Σούφαρη

Mathematical interpretation of artificial ovoids and avian egg shapes (part I), Ivan Mytiai, Alex Matsyura

NRICH - Making Maths: Birds from an Egg

Chickscope - EggMath, University of Illinois at Urbana-Champaign

Ευχές με Ευκλείδεια κόκκινα αυγά, του Μάριου Κιοστεράκη

Το αυγό του Κολόμβου, του Γιάννη Πλατάρου