Το πλαγιαστό οκτάρι, γνωστό ως "λημνίσκος", είναι το σύμβολο του απείρου. Ο Άγγλος μαθηματικός John Wallis (1616-1703) ήταν εκείνος που εισήγαγε αυτό το σύμβολο για να δηλώσει το άπειρο στα μαθηματικά στο βιβλίο του "Arithmetical Infinitorum" το 1655, ενώ ο Σουηδός μαθηματικός Jacob Bernoulli (1654-1705) ήταν αυτός που ονόμασε το σχήμα "λημνίσκο" (lemniscus: λατινική ονομασία για την κορδέλα) σε άρθρο του στο "Acta Eruditorum" το 1694.

Αυτά είναι τα εκθέματά μας για το σύμβολο του απείρου:

Η αποκριάτικη μάσκα

Η αφίσα που δημιούργησε η Ναταλία (Β3).

Η λωρίδα του Möbius

Η αφίσα που δημιούργησαν η Γεωργία και ο Ηλίας (Β1). Δείτε ακόμα και αυτό το άρθρο του Εργαστηρίου Μαθηματικών.

Το ηλιακό ανάλημμα

Αν φωτογραφίζουμε κάθε εβδομάδα την ίδια μέρα και την ίδια ώρα τον Ήλιο (π.χ. την ώρα που μεσουρανεί) τότε θα πάρουμε ετησίως 52 φωτογραφίες που όταν τις συνθέσουμε θα διαπιστώσουμε ότι ο Ήλιος κινήθηκε σε έναν λημνίσκο. Ο λημνίσκος είναι ασύμετρος γιατί κατά το χειμώνα η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη.

Οι φωτογραφίες είναι του Αντωνίου Αγιομαμίτη, από τη συλλογή του εδώ.

Λημνίσκοι με το GeoGebra

Σε τρία βήματα μπορείτε να φτιάξετε έναν λημνίσκο με το GeoGebra (κατεβάστε το έτοιμο αρχείο από εδώ)

1. Στη γραμμή εισαγωγής πληκτρολογήστε x^2-y^2=1 για να δημιουργήσετε την υπερβολή x²-y²=1.
2. Έπειτα πληκτρολογήστε x^2+y^2=1 για να δημιουργήσετε τον κύκλο x²+y²=1.
3. Τέλος, επιλέξτε το εργαλείο της αντιστροφής ως προς κύκλο και κλικάρετε πρώτα την υπερβολή και έπειτα τον κύκλο. Ο λημνίσκος αμέσως θα σχηματιστεί.

Για τον λημνίσκο του Jacob Bernoulli πειραματιστείτε με αυτή την εφαρμογή που δημιούργησε η μαθηματικός Σούλα Σούφαρη.

Λημνίσκοι στον εγκέφαλο

Όταν επιλέξαμε το θέμα του απείρου για την εκδήλωση του εγκεφάλου δεν γνωρίζαμε ότι και ο εγκέφαλος διαθέτει τους λημνίσκους του...

Επιστροφή στους αριθμούς

Στην επόμενη εικόνα οι γλάστες δεν είναι άπειρες. Είναι μόνο μία, η οποία έχει τοποθετηθεί ανάμεσα σε δύο καθρέπτες. Έτσι το είδωλό της ανακλάται από τον έναν καθρέπτη στον άλλο, προκαλώντας την εντύπωση των άπειρων ειδώλων.

Η κυκλική διαδοχή εικόνων που επαναλαμβάνεται συνεχώς, δίνει επίσης μια απλοϊκή εικόνα για το τι είναι το άπειρο. Οι μαθητές δημιούργησαν καλειδόκυκλους και φενακιστοσκόπια, όπως αυτά που εικονίζονται ακολούθως.

Τα φενακιστοσκόπια ήταν από την περυσινή συμμετοχή μας στην ημερίδα για τον εγκέφαλο, με θέμα τις οπτικές ψευδαισθήσεις (διαβάστε την εδώ)

Ο Ζήνων ο Ελεάτης (γεννήθηκε περίπου το 488 π.Χ.) είχε διατυπώσει το παράδοξο με τον Αχιλλέα και την χελώνα, όπου ο Αχιλλέας ποτέ δεν μπορεί να φτάσει μια προπορευόμενη χελώνα που τρέχει με το 1/10 της ταχύτητάς του. Το παράδοξο στις επόμενες αφίσες ειναι ότι καθένα από τα άπειρα αθροίσματα μπορεί να είναι (α) αριθμός, (β) το άπειρο ή (γ) να μην υφίσταται.

Στην πρώτη αφίσα που ετοίμασαν η Γεωργία και ο Ηλίας (Β1) παρουσιάζεται μια οπτική απόδειξη του ότι 1/2+1/4+1/8+...=1.

Με όμοιο συλλογισμό, ο χρόνος δεν είναι άπειρος, αλλά είναι πεπερασμένος και στην περίπτωση του Αχιλλέα και της χελώνας.

Ο Θεός βρήκε τον τρόπο να δώσει τα άπειρα χρήματα που του ζήτησε ο ανθρωπάκος. Γιατί 1+1/2+1/3+...=+∞

Κάτι δεν πάει καλά με το (+1)+(-1)+(+1)+(-1)+... στο αριστερό τμήμα της αφίσας που ετοίμασαν η Γεωργία και ο Ηλίας (Β1). Μήπως δεν υπάρχει αυτό το άθροισμα;

Η χιονονιφάδα Von Koch είναι ένα fractal με το εξής παράδοξο: Ενώ είναι πεπερασμένη η επιφάνειά της, η περίμετρός της είναι άπειρη. Αυτό το παράδοξο οφείλεται στον τρόπο δημιουργίας της χιονονιφάδας που είναι σε άπειρα στάδια. Σε κάθε στάδιο, η περίμετρος γίνεται 4/3 φορές μεγαλύτερη από όσο ήταν στο προηγούμενο στάδιο.

Τα στάδια δημιουργίας της φαίνονται αναλυτικά στην επόμενη εικόνα, πατώντας το κουμπί "εκκίνηση" (πηγή)

Ο Γερμανός μαθηματικός Ντέιβιντ Χίλμπερτ (23 Ιανουαρίου 1862 - 14 Φεβρουαρίου 1943) για να δείξει την πολυπλοκότητα του απείρου επινόησε μία παράδοξη ιστορία για το "άπειρο ξενοδοχείο". Θα εκπλαγείτε με τις δυνατότητες αυτού του ξενοδοχείου:

Ακούγεται λοιπόν "παράδοξο" οι φυσικοί αριθμοί και οι άρτιοι αριθμοί να έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Η Θεωρία Συνόλων, ένας κλάδος των Μαθηματικών, εισαγάγει τους "πληθικούς αριθμούς" (cardinals) για να μετρήσει το πλήθος των στοιχείων των συνόλων. Υπ' αυτή τη σκοπιά, οι πληθικοί αριθμοί των φυσικών αριθμών και των άρτιων είναι ίδιοι. Αυτό όμως δεν συμβαίνει με τον πληθικό αριθμό των πραγματικών αριθμών.

Στην επόμενη αφίσα περιγράφεται το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor που αποδεικνύει ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό με τους φυσικούς, αφού δεν υπάρχει απεικόνιση από το ένα σύνολο στο άλλο που να είναι 1-1 και επί.

Στο δεξί μέρος της αφίσας που ακολουθεί παρουσιάζονται μερικοί πληθικοί αριθμοί:

Το χαρακτηριστικό στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι ότι υπάρχει ένας 1ος φυσικός και κάθε άλλος φυσικός έχει τον επόμενό του. Σε αυτή τη δομή στηρίζεται η "μαθηματική επαγωγή", μια αποδεικτική διαδικασία που θυμίζει "ντόμινο":

Εδώ είναι μερικές προτάσεις και οι αποδείξεις τους με μαθηματική επαγωγή:

Ο αριθμός π έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν παρουσιάζουν καμία περιοδικότητα ή άλλη κανονικότητα. Αυτό το χαρακτηριστικό το έχουν όλοι οι άρρητοι αριθμοί. Θα εκπλαγούμε όμως όταν ανακαλύψουμε κανονικότητες στον αριθμό π όταν τον γράψουμε... διαφορετικά!

...το "διαφορετικά" αναφέρεται στα συνεχή κλάσματα. Στο δεξί μέρος της αφίσας παρουσιάζονται τα συνεχή κλάσματα του αριθμού φ (μονάχα με μονάδες) και του π.

Στο ακόλουθο αρχείο pdf υπάρχουν περισσότερα παραδέιγματα.

Ας επανέλθουμε στα δεκαδικά ψηφία του αριθμού π. Άπειρα και χωρίς κανονικότητες. Όμως, κάτι ενδιαφέρον παρουσιάζουν, όπως περιγράφει το βίντεο: