Στις Πιθανότητες φτιάξαμε παιχνίδια.
Αυτά είναι τα μπουκάλια.

Καθένα κρύβει μέσα 2-3 μπάλες
διαφόρων χρωμάτων.

Γυρίζοντάς το ανάποδα
μπορούμε να δούμε μόνο μία.

Πόσες μπάλες έχει το καθένα
και τι χρώματος;

Αυτός είναι ο τυχαίος περίπατος του κυρ-Μέντιου.

Εδώ η κατασκευή μας στο τελικό στάδιο.

Ανάλογα με την ένδειξη κορώνα/γράμματα ενός κέρματος,
ο κυρ-Μέντιος πάει ένα βήμα μπρος ή πίσω.

Θα φτάσει άραγε το κουκουνάρι του;
Τόσο κοντά και δεν το έφτασε ακόμα.

Ώρα για show με το "Monty Hall Game"!

Παίξαμε με τα παιχνίδια στα διαλείμματα.

Όχι μόνο εμείς, αλλά και πολλοί άλλοι.

Ας μη χτυπήσει το κουδούνι!
Εξάλλου κι αυτό "μάθημα" είναι!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Η αίσθηση που έχουμε για το "τυχαίο", το γεγονός δηλαδή που μπορεί να συμβεί ή να μη συμβεί, απορρίπτει τη δυνατότητα μέτρησης της όποιας "τυχαιότητας". Ακούγεται σχεδόν παράλογη η φράση "το τυχαίο γεγονός α έχει διπλάσια προσδοκία/πιθανότητα να συμβεί από το το τυχαίο γεγονός β". Αλλά κι αν βρεθεί μια λογική σε αυτή, η μέτρηση της τυχαιότητας πού χρησιμεύει;

Ως καθηγητές που κληθήκαμε να διδάξουμε Πιθανότητες στην Α' Λυκείου, κρίναμε πως μονάχα μέσα από πραγματικό πειραματισμό, θα ήταν σε θέση οι μαθητές μας να κατανοήσουν τη μετρησιμότητα της τυχαιότητας (δηλαδή την έννοια της Πιθανότητας), αλλά και τη χρησιμότητά της -που καθόλου δεν θίγεται στο σχολικό βιβλίο. Έτσι αποφασίσαμε τη δημιουργία των "Παιχνιδιών Πιθανοτήτων", μια εκδήλωση κατά την οποία θα προσκαλούσαμε όλους τους μαθητές του σχολείου να εκτελέσουν κάποια πρωτότυπα πειράματα τύχης την ώρα των διαλειμμάτων, κατά το διάστημα μιας εβδομάδας (17-2-14 έως 21-2-14). Τα παιχνίδια θα τα κατασκεύαζαν οι μαθητές της Α' Λυκείου ώστε να έχουν μεγαλύτερο κίνητρο να ασχοληθούν με αυτά.

Οι μαθητές που τελικά ανταποκρίθηκαν στην κατασκευή των παιχνιδιών δεν ήταν πολλοί, επέδειξαν όμως μεγάλο ενθουσιασμό και καλλιτεχνικό μεράκι, αφήνοντας την προσωπική τους σφραγίδα στις δημιουργίες τους. Όμως όλοι οι μαθητές της Α Λυκείου ασχολήθηκαν με αυτά, κυρίως γιατί τα παιχνίδια "ταξίδεψαν" από τάξη σε τάξη κατά την ώρα των μαθημάτων και αποτέλεσαν αντικείμενο πειραματισμού και προβληματισμού. Έννοιες όπως "πείραμα τύχης", "ενδεχόμενο", "ευνοϊκά αποτελέσματα", "πιθανότητα" κατακτήθηκαν με βιωματικό τρόπο.

Καθώς κάθε παιχνίδι έχει τη δική του "σοφία", διδάσκοντας κάτι μοναδικό για τις Πιθανότητες, τα παρουσιάζουμε ένα-ένα ξεχωριστά.

Οι καθηγητές,
Ανδρέας Βαρβεράκης, Ειρήνη Περυσινάκη, Αλέξανδρος Συγκελάκης

Σημεία ανάπτυξης

• Τα μπουκάλια
• Ο τυχαίος περίπατος του κυρ-Μέντιου
• Οι τρεις πύλες (The Monty Hall Game)
• Κι άλλα ψηφιακά παιχνίδια πιθανοτήτων
• Μας άρεσαν κι αυτά

Οι κανόνες του παιχνιδιού είναι απλοί:

1. Κάθε μπουκάλι περιέχει 2 ή 3 μικρές μπαλίτσες. Δεν γνωρίζουμε όμως το χρώμα τους ούτε αν έχουν ίδιο ή διαφορετικό χρώμα.
2. Κανένας δεν μπορεί να δει το περιεχόμενο ενός μπουκαλιού (δεν επιτρέπεται να ανοίξουμε το καπάκι). Όμως, ανατρέποντας το μπουκάλι, μπορούμε να διακρίνουμε στον ακάλυπτο λαιμό του, το χρώμα μιας μπάλας ακριβώς.
3. Επιτρέπεται να ανατρέψουμε το μπουκάλι όσες φορές θέλουμε.

Η πρόκληση είναι να μαντέψουμε το περιεχόμενο κάθε μπουκαλιού. Είναι αυτό δυνατόν;

Η απάντηση είναι "ναι" και βασίζεται στον Νόμο των μεγάλων αριθμών. Αν οι επαναλήψεις που θα κάνουμε είναι πάρα πολλές -π.χ. 1000- και τις 350 φορές εμφανιστεί μια κόκκινη μπάλα ενώ τις υπόλοιπες μια κίτρινη, τότε, με αρκετά μεγάλη σιγουριά μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το 1/3 των μπαλών είναι κόκκινες και τα 2/3 είναι κίτρινες. Δηλαδή, το μπουκάλι μας περιέχει ακριβώς 3 μπάλες, μία κόκκινη και δύο κίτρινες.

Συνεπώς, συχνά χρησιμοποιούνται οι Πιθανότητες για κάποια πρόγνωση. Όπως ακριβώς και η πρόγνωση του καιρού.

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης

Ο κυρ-Μέντιος είναι το μικρό γαϊδουράκι που βλέπετε στη φωτογραφία. Κινείται σε ένα μονοπάτι που οι πλάκες του/τετραγωνάκια είναι αριθμημένα με τους ακεραίους από το -5 μέχρι το 5.

Αρχικά, ο κυρ-Μέντιος τοποθετείται στο 0 και το κουκουνάρι του σε μια άλλη θέση, π.χ. στο 2. Ρίπτουμε ένα νόμισμα και αν το αποτέλεσμα είναι "κορώνα" ο κυρ-Μέντιος κινείται ένα τετραγωνάκι μπροστά, ενώ αν είναι "γράμματα", πηγαίνει ένα τετραγωνάκι πίσω. Η ρίψη του νομίσματος επαναλαμβάνεται, μέχρι ο κυρ-Μέντιος να φτάσει το κουκουνάρι του. Πόσες ρίψεις κάναμε; Λίγες ή πολλές;

Το ερώτημα που θέσαμε μας ξενίζει αρκετά. Θα περιμέναμε κάτι σαν το "Μετά από 4 διαδοχικές ρίψεις του νομίσματος, ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί ο κυρ-Μέντιος στο ίδιο τετραγωνάκι με το κουκουνάρι του;" Συμβολίζοντας με "+1" τη μετακίνηση ένα βήμα εμπρός και με "-1" τη μετακίνηση ένα βήμα πίσω, θα φτιάχναμε το δενδροδιάγραμμα για τον δειγματικό χώρο, ένα σύνολο με 16 στοιχεία:

Ω={+1+1+1+1, +1+1+1-1, +1+1-1+1, +1+1-1-1,
+1-1+1+1, +1-1+1-1, +1-1-1+1, +1-1-1-1,
-1+1+1+1, -1+1+1-1, -1+1-1+1, -1+1-1-1,
-1-1+1+1, -1-1+1-1, -1-1-1+1, -1-1-1-1}.

Όμως το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων (αλγεβρικό άθροισμα 2) είναι μόλις 4, ο πληθικός αριθμός του Α={+1+1+1-1, +1+1-1+1, +1-1+1+1, -1+1+1+1}. Άρα η πιθανότητα που ζητάμε είναι P=4/16=0,25%.

Τι νόημα έχει λοιπόν να ρωτήσουμε "σε πόσες ρίψεις ο κυρ-Μέντιος έφτασε το κουκουνάρι του"; Ίσως γιατί είναι αξιο παρατήρησης το γεγονός ότι τις πιο πολλές φορές που εκτελέσαμε τον πειραματισμό στο σχολείο, χρειάστηκε να ρίψουμε το νόμισμα πάρα πολλές φορές έως ότου ο κυρ-Μέντιος φτάσει στο κουκουνάρι του για πρώτη φορά. Μάλιστα, μια φορά χρειάστηκε κάτι παραπάνω από ένα 10-λεπτο διάλειμμα! Φαίνεται υπερβολικό, αν αναλογιστούμε ότι η αρχική θέση του κουκουναριού ήταν μόλις 2 τετραγωνάκια μετά τον κυρ-Μέντιο.

Αλλά αυτό είναι χαρακτηριστικό ενός τυχαίου περιπάτου. Ότι δηλαδή, απαιτείται πολύ μεγάλος χρόνος για να μεταφερθεί το κινούμενο σε μια συγκεκριμένη θέση. "Ζωντανό" παράδειγμα ο "τυχαίος περίπατος του φωτονίου". Το φωτόνιο είναι το ταχύτερο πράγμα στον κόσμο μας, γιατί κινείται -ως γνωστόν- με την ταχύτητα του φωτός. Κι όμως, χρειάζεται εκατοντάδες χιλιάδες χρόνια ίσως και πάνω από εκατομμύριο, για να μεταφερθεί από τον πυρήνα του Ήλιου -το σημείο όπου δημιουργήθηκε- στην επιφάνειά του! Γιατί; Γιατί εκτελεί έναν "τυχαίο περίπατο"! Πειραματιστείτε με την επόμενη εφαρμογή (όπου 1 Myr= 1.000.000 χρόνια):

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης

Ώρα για show! Υπάρχουν τρεις πόρτες, η μια κρύβει πίσω της ένα αυτοκίνητο, ενώ οι άλλες δυο κρύβουν από μια κατσικούλα. Αν ο διαγωνιζόμενος καταφέρει να βρει το αυτοκίνητο, αυτόματα το κερδίζει! Επιλέγει λοιπόν μια από τις τρεις πόρτες, όμως ο παρουσιαστής δεν την ανοίγει. Αντ' αυτής, ανοίγει μια άλλη πόρτα που -όπως γνωρίζει- κρύβει κατσικούλα- και θέτει το εξής δίλημμα στον προσκεκλημένο του: να εμμείνει στην αρχική του επιλογή, ή να την αλλάξει;"

Τι από τα δυο είναι προτιμότερο; η εμμονή ή η αλλαγή; Την απάντηση την δίνουν οι Πιθανότητες: Ο παίκτης που θα αλλάξει την επιλογή του έχει πιθανότητα 66% να κερδίσει, ενώ ο παίκτης που θα εμμείνει στην αρχική επιλογή του έχει πιθανότητα μόλις 33% να κερδίσει -τη μισή από πριν. Οι Πιθανότητες δηλαδή είναι σημαντικές στη λήψη αποφάσεων.

Κλικ εδώ για να παίξετε ψηφιακά το παιχνίδι. Δείτε πόσες φορές κερδίζει ο παίκτης που εμμένει στην αρχική του επιλογή και πόσες ο παίκτης που την αλλάζει.

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης

• Dice Simulator: Πολλών λογιών ζάρια για εικονική ρίψη ενός ή περισσότερων, συνδυάζοντάς τα.


• Tossing 2 Dice, by Jim Reed: Θεωρητική και πειραματική πιθανότητα για το άθροισμα των ενδείξεων δύο ζαριών που ρίπτονται συγχρόνως.


• Monty Hall Problem Simulation Game Show - Stay or Switch?: Σε ψηφιακή μορφή το παιχνίδι με τις τρεις πύλες. Για κάθε στρατηγική (εμμονή στην αρχική επιλογή ή αλλαγή) καταγράφονται τα ποσοστά επιτυχίας σε πίνακα. Έτσι επαληθεύεται πειραματικά η διαφορετική πιθανότητα των δύο ενδεχομένων "εμμονής" ή "αλλαγής".


• Random Walk - The King's Centre for Visualization in Science: Διαδραστική προσομοίωση του τυχαίου περιπάτου του φωτονίου (όπου 1 Myr= 1.000.000 χρόνια)


• The Game of Chaos by Jürgen Giesen: Αν και "παιχνίδι του χάους", όταν πειραματιστείτε με τη διαδραστική εφαρμογή θα διαπιστώσετε ότι το σχέδιο-αποτέλεσμα έχει μεγάλη τάξη. Από το "χάος" στην "τάξη" λοιπόν!


• MyMaths.co.uk - Simple Probability Movie: Μια σειρά δραστηριοτήτων για την κατανόηση της έννοιας των Πιθανοτήτων.

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης

Teachers TV: Lucky Numbers - Resources - TES: Βίντεο όπου ο Άγγλος Μαθηματικός Marcus Du Sautoy, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, εξηγεί γιατί είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τις Πιθανότητες.

Σύνολα και Πιθανότητες - Άλγεβρα Α' Λυκείου Σχολικές Σημειώσεις του Μαθηματικού Νίκου Μαυρογιάννη, 23-11-2013

Επιστροφή στα σημεία ανάπτυξης